Las ecuaciones diferenciales sirven para modelar problemas de la ingeniería donde aparecen involucradas la tasa de cambio de una variable respecto a otra
En general, la ecuación diferencial que modela el problema es demasiado complicada para resolverla con exactitud
Los métodos que veremos no producen una aproximación continua de la solución sino una aproximación de la solución real en un determinado instante
Se dice que una función $f(t,y)$ satisface una condición de Lipschitz en la variable $y$ en un conjunto $D \in \R^2$ si existe una constante $L>0$ tal que
$$ |f(t,y_1)-f(t,y_2)| \leq L|y_1-y_2| \\ (t,y_1),(t,y_2) \in D $$
Un conjunto D se dice convexo si $\forall (t,y_1),(t,y_2) \in D$ el segmento $((1-\lambda)t_1+\lambda t_2,(1-\lambda)y_1+\lambda y_2) \subset D \ \ \forall \lambda \in [0,1]$
Supongamos que $f(t,y)$ está definida en un conjunto $D$ convexo Si existe una constante $L>0$ tal que:
$$ |{\partial f \over \partial y}(t,y)| \leq L \ \ \forall(t,y) \in D $$
Entonces $f$ satisface una condición de Lipschitz en $D$ en la variable $y$
Supongamos que $D=\{ (t,y):a \leq t \leq b, -\infin\leq y \leq \infin \}$ y que $f(t,y)$ es continua en $D$
Si $f$ satisface una condición de Lipschitz en $D$ en la variable $y$ entonces el problema de valor inicial
$$ \left\lbrace\begin{array}{c} y'(t)=f(t,y) \ \ \ a\leq t \leq b \\ y(a)=y_0
\end{array}\right. $$
Tiene solución unica $y(t)$ para $a \leq t \leq b$
Se dice que el problema de valor inicial